Instinto Lógico

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CONJETURAS SOBRE NÚMEROS PRIMOS

mumerosPrimosHacer una conjetura es emitir un juicio que se vislumbra a partir de sospechas, indicios o de unas cuantas observaciones particulares. Una conjetura es una afirmación que parece razonable, pero cuya veracidad no ha sido demostrada. Históricamente se ha asociado con algo incierto o azaroso, así lo entendía en el siglo XVII Jacob Bernoulli (1654–1705) cuando escribió su libro sobre combinatoria, la estadística matemática y probabilidad El Arte de la Conjetura (1713), donde enunciaba por primera vez la ley de los grandes números.

Los resultados matemáticos obtenidos por conjeturas no son válidos, pero las conjeturas matemáticas han contribuido al progreso de las matemáticas y a descubrir resultados válidos. Para confirmar una conjetura matemática sobre números no basta con comprobar que se cumple para una serie de casos particulares, aunque estos sean muy numerosos. Las fórmulas matemáticas son universales y deben verificarse para todos los valores. La veracidad de una conjetura debe ser justificada, demostrada y no es lo mismo ver, intuir que demostrar.

Conjetura 1.- P. Fermat afirmó que los números de la forma 2n+1 eran primos. En 1732 L. Euler (1707-1783) comprobó (sin calculadoras) que cuando n = 5 con la fórmula de Fermat se obtenía el número 2-32+1que, por lo tanto, no es primo.

Conjetura 2.- Un tipo especial de números son los números primos de M. Mersenne (1588-1648) que se obtienen mediante la fórmula: numros-mersennesiendo p un número primo. Mersenne conjeturó M(p) era primo para los valores 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y compuesto para los restantes.

Fueron necesarios tres siglos para descubrir que la lista de Mersenne tenía errores y que además no estaba completa, faltaban números como 61, 89 y 107. Además en el año 1922 se descubrió que numero-Meresnne-257no era primo.

Los números primos de Mersenne se caracterizan por ser exageradamente largos. En el año 2013 se descubrió el cuadragésimo octavo primo de Mersenne. El M(57.885.161) es un gigante de 17 millones de cifras.

Conjetura 3.- Algunos polinomios produjeron la ilusión de que podía hallarse una fórmula polinómica que generaban números primos.

            El polinomio 2x2 + 29 generaba números primos para valores enteros de x comprendidos entre 0 y 28. Para x = 29, el valor numérico es múltiplo de 29.

            Euler descubrió que polinomio x2 + x + 41 generaba números primos para valores enteros de x comprendidos entre 0 y 40 y que realizando el cambio de variable x = z – 40 se transformaba en z2 – 79z + 1601, daba números primos para ochenta números consecutivos, para x = 81, el valor numérico es múltiplo de 1763 = 41×43. Las investigaciones para buscar polinomios que pudieran generar todos los números primos terminaron cuando Ch. Goldbach (1690-1764) demostró que ningún polinomio podía generar números primos para todos los valores de la variable x.

El Teorema de los Números Primos

La obtención de una fórmula que siempre números primos no se ha obtenido, porque su distribución es excesivamente caprichosa. Dado un número cualquiera no sabremos decir si en los cien próximos habrá un número primo. No obstante, hay un resultado que nos aproxima a cómo es la distribución de los números primos Este teorema nos permite estimar cuántos números primos hay por debajo de cierto número, o en un determinado intervalo numérico. Llamaremosa la función número de primos menores que x.

El teorema de la distribución de los Números Primos fue conjeturado por A.M. Legendre (1752-1833) en 1798, aunque parece ser K. F. Gauss (1777-1855) en 1792 de forma independiente, con 14 años Gauss escribió una nota, que no publicó, donde indicaba la pauta con la que se distribuyen los números primos entre los números naturales.

Teorema de los numeros primosQue significa que a medida que aumenta x, el número de primos menores que x es aproximadamente x/ln(x). Esta fórmula nos proporciona un conocimiento que se cumple de forma global según la ley de los grandes números de J. Bernoulli.

  1. Como π(x)/x  es la probabilidad de elegir un número primo entre los x primeros números naturales esa probabilidad será aproximadamente 1/Ln(x)
  2. A medida que aumenta x la densidad de números primos disminuye.
  3. Como π(x)/x  es la distancia media entre dos números primos y será aproximadamente será Ln(x). Por ejemplo, entre los primos menores 1000, como Ln (1000) = 6,91, aproximadamente uno de cada siete números es primo, mientras que en torno a Ln (1.000.000) = 13,82 sería uno de cada 14.

 

Conjetura 4.- La más famosa conjetura sobre números primos es la Conjetura de Ch. Goldbach (1690-1764) que profesor de matemáticas de San Petersburgo y tutor de Pedro II de Rusia. Goldbach comunicó a L. Euler en 1742. La conjetura afirma que cualquier número par y mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos.

4 = 3+1,      6 = 1+5,       8= 5+3,          10 = 3+7, …

18 = 13 +5, 36 =31+5,   50 = 3 + 47      60=7+53, …

Hasta hoy nadie la ha probado, sin embargo, el matemático peruano afincado en Francia Harald A. Helfgott (1977- ) demostró en 2013 la conocida como conjetura débil de Goldbach, que dice que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos. Es decir:

7=2+2+3,   9=3+3+3,   11=3+3+5,   13=3+5+5,   15=5+5+5,…

Será difícil encontrar los tres números primos en que se descompone por ejemplo, el número 345691.245.723, pero después de la demostración de Helfgott, sabemos que esos tres primos existen.

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2 Comments

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  1. Los números primos de Mersenne, si llegan a ser grandes, pero en base a su exponente, podemos determinar a los que son compuestos, depurarlos, donde solo los que son Mp primos, pasan la evaluación, como se muestra en este reporte.

    EVALUANDO Rango:(4,57885180)

    2^{5}-1 Mp[3] Primo de Mersenne
    2^{7}-1 Mp[4] Primo de Mersenne
    2^{13}-1 Mp[5] Primo de Mersenne
    2^{17}-1 Mp[6] Primo de Mersenne
    2^{19}-1 Mp[7] Primo de Mersenne
    2^{31}-1 Mp[8] Primo de Mersenne
    2^{61}-1 Mp[9] Primo de Mersenne
    2^{89}-1 Mp[10] Primo de Mersenne
    2^{107}-1 Mp[11] Primo de Mersenne
    2^{127}-1 Mp[12] Primo de Mersenne
    2^{521}-1 Mp[13] Primo de Mersenne
    2^{607}-1 Mp[14] Primo de Mersenne
    2^{1279}-1 Mp[15] Primo de Mersenne
    2^{2203}-1 Mp[16] Primo de Mersenne
    2^{2281}-1 Mp[17] Primo de Mersenne
    2^{3217}-1 Mp[18] Primo de Mersenne
    2^{4253}-1 Mp[19] Primo de Mersenne
    2^{4423}-1 Mp[20] Primo de Mersenne
    2^{9689}-1 Mp[21] Primo de Mersenne
    2^{9941}-1 Mp[22] Primo de Mersenne
    2^{11213}-1 Mp[23] Primo de Mersenne
    2^{19937}-1 Mp[24] Primo de Mersenne
    2^{21701}-1 Mp[25] Primo de Mersenne
    2^{23209}-1 Mp[26] Primo de Mersenne
    2^{44497}-1 Mp[27] Primo de Mersenne
    2^{86243}-1 Mp[28] Primo de Mersenne
    2^{110503}-1 Mp[29] Primo de Mersenne
    2^{132049}-1 Mp[30] Primo de Mersenne
    2^{216091}-1 Mp[31] Primo de Mersenne
    2^{756839}-1 Mp[32] Primo de Mersenne
    2^{859433}-1 Mp[33] Primo de Mersenne
    2^{1257787}-1 Mp[34] Primo de Mersenne
    2^{1398269}-1 Mp[35] Primo de Mersenne
    2^{2976221}-1 Mp[36] Primo de Mersenne
    2^{3021377}-1 Mp[37] Primo de Mersenne
    2^{6972593}-1 Mp[38] Primo de Mersenne
    2^{13466917}-1 Mp[39] Primo de Mersenne
    2^{20996011}-1 Mp[40] Primo de Mersenne
    2^{24036583}-1 Mp[41] Primo de Mersenne
    2^{25964951}-1 Mp[42] Primo de Mersenne
    2^{30402457}-1 Mp[43] Primo de Mersenne
    2^{32582657}-1 Mp[44] Primo de Mersenne
    2^{37156667}-1 Mp[45] Primo de Mersenne
    2^{42643801}-1 Mp[46] Primo de Mersenne
    2^{43112609}-1 Mp[47] Primo de Mersenne
    2^{57885161}-1 Mp[48] Primo de Mersenne

    Mp Primos:48
    Mn Compuestos:3443913

    Tiempo Evaluacion: Tmpo:21:58
    *** EVALUACIONES COMPLETADAS ***

    1. Hola Victor Luis. Realmente interesante el aporte. Muchísimas gracias por compartirlo.

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