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El principio del palomar: Un método sencillo y con posibilidades.

principio del palomarA veces los argumentos más elementales resultan ser los más claros y eficaces para resolver problemas de apariencia compleja. El principio del palomar es uno de estos principios de razonamiento que, bien utilizado, permite responder preguntas de formulación sorprendente.

El principio del palomar fue formulado en 1834 por el matemático alemán Gustav Dirichlet. Por esta razón es conocido también como principio de Dirichlet y puede enunciarse, en forma elemental,  del modo siguiente:

 Si una bandada de palomas se acomoda en cierto número de palomares y el número de éstos es menor que el de palomas, necesariamente, en alguno de los palomares debe haber más de una paloma.

Si tenemos n nidos y en ellos duermen n+1 palomas necesariamente en un nido duerme más de una paloma

Dejando a un lado las cuestiones numéricas y de carácter cuantitativo, casi siempre presentes en las matemáticas, el principio  del palomar permite descubrir si en un colectivo hay dos o más individuos  que posean la misma característica, que sería tanto como decir  si existen dos palomas que compartan el mismo palomar.

Entre los problemas que se pueden resolver con el principio del palomar podemos señalar los dos siguientes. En  la ciudad de Zaragoza ¿Hay dos ciudadanos que tengan el mismo número de pelos en la cabeza? En un campo de fútbol con 30.000 espectadores ¿Cuántos, como mínimo, cumplen años el mismo día?

Para ilustrar cómo se aplica el principio intentaremos explicar el problema  planteado sobre el número de pelos de la cabellera de los zaragozanos. ¿Hay dos personas  con el mismo número de pelos?

Se estima, que el número máximo de cabellos en la cabeza de una persona es 100.000 y que Zaragoza es una ciudad de unos 700.001 habitantes. Además supondremos que en Zaragoza hay personas con un pelo, con dos, con tres…hasta cien mil cabellos.

Consideremos un palomar con 100.000 palomares, tantos como número de pelos que puede tener cada ciudadano. Para resolver este problema consideraremos que los ciudadanos son palomas.  En el primer palomar se colocará un ciudadano que tenga un pelo en la cabeza, en el segundo otro que tenga dos, en el tercero uno de tres pelos de tres…. Cuando hayamos colocado de esta manera los cien mil primeros ciudadanos el ciudadano siguiente tiene que tener necesariamente los mismos pelos que alguno de los ya colocados. Por lo tanto, habremos encontrado una persona que tiene el mismo número de cabellos que otra (aunque no sepamos cuantos). Siguiendo el procedimiento posemos asegurar que en Zaragoza hay por lo menos ocho ciudadanos con el mismo número de pelos.

El protagonista y  sus problemas.

DirichletEl nombre de Gustav Dirichlet (1805-59)  aparece ligado a muchos campos de las matemáticas y de la física.  Sucedió a K.F. Gauss en la cátedra de la prestigiosa Universidad alemana de Gotinga.  Esta Universidad fue uno de los centros  matemáticos más prestigiosos  de siglo XIX y comienzos del XX.

Dirichlet llegó a los temas  más profundos de las matemáticas formulando preguntas sencillas, claras y precisas. La teoría de funciones tiene una función de mal comportamiento descubierta por él que se llama Función de Dirichlet y contribuyó a establecer el concepto de función matemática tal y como hoy la conocemos actualmente. Se planteó un problema conocido como problema de Dirichlet que  estudia cómo se comportaría el interior de un conjunto conociendo el comportamiento de su frontera. Los cuestiones planteadas en matemáticas por Dirichlet constituyen un modelo de la  curiosidad de un científico

Dirichlet planteó: Con las nueve cifras significativas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si se seleccionan seis al azar, en cada selección tiene que haber necesariamente dos elementos cuya suma sea diez.

            Los pares cuya suma es 10 son {1, 9}, {2,8},{3,7}{4, 6}. Consideraremos que esos pares son los palomares y cada una de las seis elecciones las palomas. Como el número de palomas (las seis elecciones) son mayores que el número de nidos (Los cuatro pares). Necesariamente tiene que haber dos números que vayan al mismo nido. (observar que el cinco no afecta, porque, aunque se elija la cifra cinco, hay cinco palomas para cuatro nidos. Y necesariamente debe haber dos de las cifras elegidas en un nido.

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