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CONJETURAS SOBRE NÚMEROS PRIMOS

mumerosPrimosHacer una conjetura es emitir un juicio que se vislumbra a partir de sospechas, indicios o de unas cuantas observaciones particulares. Una conjetura es una afirmación que parece razonable, pero cuya veracidad no ha sido demostrada. Históricamente se ha asociado con algo incierto o azaroso, así lo entendía en el siglo XVII Jacob Bernoulli (1654–1705) cuando escribió su libro sobre combinatoria, la estadística matemática y probabilidad El Arte de la Conjetura (1713), donde enunciaba por primera vez la ley de los grandes números.

Los resultados matemáticos obtenidos por conjeturas no son válidos, pero las conjeturas matemáticas han contribuido al progreso de las matemáticas y a descubrir resultados válidos. Para confirmar una conjetura matemática sobre números no basta con comprobar que se cumple para una serie de casos particulares, aunque estos sean muy numerosos. Las fórmulas matemáticas son universales y deben verificarse para todos los valores. La veracidad de una conjetura debe ser justificada, demostrada y no es lo mismo ver, intuir que demostrar.

Conjetura 1.- P. Fermat afirmó que los números de la forma 2n+1 eran primos. En 1732 L. Euler (1707-1783) comprobó (sin calculadoras) que cuando n = 5 con la fórmula de Fermat se obtenía el número 2-32+1que, por lo tanto, no es primo.

Conjetura 2.- Un tipo especial de números son los números primos de M. Mersenne (1588-1648) que se obtienen mediante la fórmula: (más…)

Euler: Los puentes de Konigsberg y la teoría de grafos

En matemáticas ocurre con cierta frecuencia que acertijos, paradojas y problemas en apariencia intranscendentes han dado paso teorías y resultados de gran transcendencia y  profundidad. Este es el caso del la curiosidad que despertó el problema del paseo por los puentes de Konigsberg (actual Kaliningrado) que traía de cabeza a muchos de sus habitantes sin dejar de ser una curiosidad que no iba más allá de chascarrillos de paseantes y que cuando se ocupó de él Leonard Euler (1707-1783) y lo trató de forma matemática dio lugar a una nueva rama de las matemáticas que se conoce como teoría de grafos.

Con teoría de grafos se resuelven problemas de estrategias de juegos, de cálculo de rutas óptimas, así como su aplicación a las cuestiones más diversas como optimización en la logística, la robótica, la genética, la sociología o el diseño de redes.

El problema

El problema que dio origen a la teoría de grafos era, como hemos señalado, el paseo atravesando los siete puentes sobre el río Pregel. Este río tenía una isla, isla de Kneiphof, en medio  a la que llegaban cinco puentes, dos a cada orilla y otro que llevaba a otra isla dentro del río, que, a su vez estaba unida a las orillas por sendos puentes, tal y como indica la figura siguiente:

 Puentes de Konigsberg

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Un pequeño homenaje a Leonard Euler.

                Leonhard EulerSi preguntamos a cualquier persona que nos de nombres de algunos matemáticos importantes en la historia, seguramente escucharemos un silencio largo y prolongado, pero si no  es así , casi con toda seguridad escucharemos nombres omo como: Pitágoras, Tales, Gauss o Newton. Sin embargo, Euler es el gran olvidado por la masa popular, incluso por gente de ciencias como ingeneros, físicos o químicos. Afortunadamente, Leonard Euler ocupa un lugar muy importante en la historia de las matemáticas y tiene el reconocimiento todos los matemáticos.

           Leonard Euler (1707-1783) fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII y, sin duda el más prolífico de todos los tiempos.  La productividad matemática de Euler fue ingente. Su nombre aparece en el sustrato cualquier rama de las matemáticas: encontramos fórmulas de Euler, polinomios de Euler, constantes de Euler, integrales eulerianas , ángulos de Euler y, hasta el número e se denota así por ser la inicial de su apellido. (más…)

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