Instinto Lógico

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Logaritmos V: Escala Richter

sismografoEn la década de los treinta del siglo veinte el sismólogo norteamericano Ch. F. Richter (1900-1985) elaboró junto con B. Gutenberg (1889-1960) una escala sismológica para detectar la magnitud de un terremoto a partir de los datos suministrados por el sismógrafo. La escala de Richter es una escala logarítmica que asigna un número para cuantificar el tamaño de un terremoto.

Los sismógrafos recogen la aparición de las ondas primarias de un terremoto y las ondas secundarias. Las ondas primarias, ondas P,   hacen vibrar la tierra en la misma dirección en la que se desplaza la onda en un proceso de comprensión y dilatación y tienen una gran velocidad, entre 5 y 10km/s. Las ondas secundarias luego la aparición de las ondas secundarias, ondas S, que hacen vibrar el medio perpendicularmente a la dirección en la que se desplaza la onda, son las ondas destructivas y las que producen las catástrofes.

Richter llegó a la conclusión que la magnitud de un terremoto podía ser determinada conociendo los siguientes datos:

a) Tiempo transcurrido entre la aparición de las ondas P y las ondas S.

b) La amplitud máxima de las ondas S.

Amplitud Ondas Simologicas

En una sismografía las ondas P se registran antes que las ondas S. El tiempo que transcurre entre ambos instantes es Δt. Asimismo en la sismografía se puede detectar la amplitud máxima de máxima de las ondas secundarias, Amax datos fundamentales para calcular la magnitud de un terremoto en la fórmula de Richter.

M = log (Amax)+ 3·log (8·Δt) – 2,92

donde Amax es la amplitud máxima de las ondas secundarias medidas en mm directamente en el sismógrafo e Δt el tiempo, medido en segundos desde el inicio de las ondas P al de las ondas S. Esta fórmula asigna una cantidad constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía. El logaritmo en la fórmula Richter de hace que los valores asignados a cada nivel aumenten de forma exponencial, y no de forma lineal. La magnitud de un terremoto se multiplica por diez al pasar de una magnitud a otra magnitud una unidad mayor. Un terremoto de magnitud 6 es 10 veces más intenso que uno de magnitud 5 y un temblor de tierra de grado 8 es mil veces más intenso que otro de grado 5.

La escala Richter es semilogaritmica y representa la energía sísmica liberada en cada terremoto. La relación entre la escala y los efectos del terremoto es más o menos la siguiente:

Magnitud

en

Escala Richter

 

Efectos del seísmo

Menos de 3’5 Apenas se siente, pero es registrado por el sismógrafo
De 3’5 a 5’4 Sólo causa daños menores
5’5 – 6 Ocasiona ligeros daños en edificios
6’1 – 6’9 Puede producir daños severos en ciudades
7 – 7’9 (Terremoto mayor) Provoca graves daños.
Más de 8 (Gran terremoto) Destrucción total a comunidades cercanas

Esta escala es abierta, es decir que no hay un límite máximo teórico y podría producirse terremotos de magnitudes arbitrarias, aunque los mayores terremotos que se han registrado han sido: terremoto de Valdivia (Chile) de 1960 (9’5 Richter), terremoto Prince Williams Sound (Alaska) de 1964 (9’2 Richter), terremoto de Sumatra (Indonesia) de 2004 (9’1 Richter), terremoto de 1952 Kamchatka (Rusia) (9 Richter), terremoto de Japón de 2011 (8’9 Richter).

Logaritmos IV: LA MEDIDA DE LA ACIDEZ (El pH)

El pH es el la medida del grado de acidez de una sustancia. Mide la concentración de iones hidrógeno, H+ en una solución acuosa. La idea del pH tomó forma cuando se descubrió, haciendo experimentos de electrolisis, que el agua estaba formada por iones hidrógeno, H+, y por iones hidroxilo, OH . En una solución es neutra, el número de iones hidrógeno es igual al número de iones hidroxilo.

Las concentraciones de iones H+ y OH  de son muy pequeñas y para hacer una medida aceptable. En 1909, el químico danés S.P.L. Sorensen (1868-1939)  definió lo que llamó potencia del hidrógeno ( pH ) como el logaritmo negativo de la concentración molar de los iones hidrógeno. Es decir:

pH = – log [ H+ ]

La palabra pH es la abreviatura de pondus Hydrogenium que significa literalmente el peso del hidrógeno. El pH es un indicador logarítmico del número de iones de hidrógeno, es decir lo que hemos llamado nivel en la notación científica.

La noción de pH se utiliza para medir la acidez de los frutos, de los jabones y productos de cosmética, y su utilización ha sido universal.

Si [ H+ ] = 10 -2 entonces pH = – log [ H+ ] ⇒  pH = – log [ 10 -2 ]  ⇒ pH = 2

La escala de pH va desde el 0 hasta el 14. Por debajo del 7 las disoluciones son ácidas y la acidez es más intensa cuanto más descendemos en la escala. Por encima del 7 las disoluciones son básicas y son más básicas cuanto más se alejan del 7.

El pH es un factor logarítmico; cuando una solución se vuelve cien veces más ácida, el pH disminuirá en dos unidades. Cuando una solución se vuelve mil veces más ácida, el pH disminuirá en tres unidades.

A continuación se expone una tabla con la escala de acidez y alcalinidad de 1 a 14 con ejemplos indicativos de la vida cotidiana.

tabla PH

Logaritmos III: La notación científica.

Un número expresado en notación científica se expresa en la forma: N= a·10n , donde n es un número entero y 1 ≤ a ≤ 10 . La notación científica permite clasificar cantidades por tamaños, siempre y cuando ordenemos los números de acuerdo con el exponente que les corresponde en su expresión en notación científica.

La ordenación será:ordenacion Notacion Cientifica

Donde [ 10r ] agrupa a todos los números que en notación científica se expresan en la forma N= a·10 r con 1 ≤ a ≤ 10 . Por lo tanto hemos establecido un orden un orden en función del exponente de la siguiente forma:

….< [ 10-5 ] < [ 10-4 < …< [ 10-1 ] [ 100 ] < [ 101 ] < ….< [ 10-4 ] < [ 10-5 ] < ….

En ese conjunto ordenado cada elemento es (por término medio) diez veces mayor que el anterior. Cada exponente indica el número de orden y lo llamaremos nivel.

Para ver la utildad de la notación científica, consideremos las masas de algunos cuerpos del sistema solar: (más…)

Logaritmos II: La escala logarítmica

escala LogaritmicaUna función y=f(x) la podemos representar de diferentes formas de cara a visualizar mejor la información que nos proporciona:

– Representación lineal.

– Representación semilogarímica.

– Representación logarítmica.

Representación lineal de la función: y=f(x)  Cada uno de los puntos (x0, y0)de la representación lineal de la función en el plano cartesiano tiene como x0 un valor numérico cualquiera del dominio de la función y=f(x),  y como componente y0 el valor f(x0)  que le corresponde a x0 , pro la función que queremos representar.

Representación de la función: y=f(x)  en escala semilogarítmica: Representaremos en el plano cartesiano (x0, logay0).

Representación de la función: y=f(x) en escala logarítmica: Representaremos en el plano cartesiano ( logax0, logay0).

En este post nos vamos a centrar únicamente en la escala semilogarítmica y sólo para ver cómo modifica la gráfica de la función.

Si, por ejemplo, una magnitud toma valores en potencias de dos (21, 22, 23, … , 210, …) representar estos valores en un eje resultaría bastante complicado. Sin embargo, si tomamos logaritmos decimales, la función tomaría valores más manejables. Además con escala semilogarítmica se puede apreciar mejor se puede apreciar mejor cómo se comporta la función para valores bajos de la variable independiente.

Aunque la mayoría de los gráficos se dan en forma aritmética, en ocasiones resulta útil expresar los datos en una gráfica trigonométrica, sobre todo si ha habido grandes variaciones en los valores o se trata de un periodo de tiempo largo, como puede apreciarse en las siguientes gráficas:

Grafica Lineal de y=2^x

Grafica Semilogaritmica de y=2^x

pentagramaAunque puede parece de poca utilidad, se utiliza en multitud de aspectos de la vida cotidiana. Por ejemplo las frecuencias de las notas del pentagrama están relacionadas por una función exponencial de base dos. Entre dos notas del mismo nombre y en distinta octava, como en el caso del pentagrama adjunto para la nota do, las frecuencias de cada nota se duplican   la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do de la octava siguiente más agudo la frecuencia se dobla).

La escala logarítmica se emplea para apreciar porcentajes y comprender de forma de forma más clara la evolución de los procesos temporales y también se utiliza para comparar tamaños. Pero es preciso comprender en qué forma se debe entender cuando clasificamos por tamaños según el orden de los exponentes.

 

Logaritmos I: Los logaritmos siguen vivos

logaritmosEl cálculo con logaritmos fue hasta los años setenta del siglo veinte uno de los cálculos más prácticos y populares de las matemáticas. La aparición de las calculadoras les restó importancia en el campo del cálculo numérico. Aquellas tablas de logaritmos (las Vázquez Queipo, las de Sánchez Ramos o las Schron) que acompañaban a los alumnos de bachillerato y estudiantes de ciencias universitarios se fueron arrinconando a la vez que las calculadoras digitales y los ordenadores se imponían. Con la aparición de las calculadoras desaparecieron de las carteras de los estudiantes las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo, que se basaban en el cálculo logarítmico y se utilizaban mucho en todas las ingenierías.

El método de cálculo con logaritmos apareció en 1614, en el libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio de John Neper (1550-1617). El cálculo logarítmico contribuyó mucho al avance de la ciencia. Los logaritmos fueron utilizados en astronomía, geodesia y navegación marítima, facilitando la resolución de cálculos complejos de trigonometría esférica, antes de la llegada de las calculadoras y los ordenadores. Además de la utilidad en el cálculo, la función logarítmica jugó un papel importante en el cálculo integral; el logaritmo neperiano forma parte de la solución de la cuadratura de un sector hiperbólico, tal y como lo hicieron algunos autores como Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667).

Los logaritmos han perdido espacio y popularidad en los programas de matemáticas de la enseñanza secundaria, pero no pueden nunca desaparecer, ya que el concepto de logaritmo es imprescindible para resolver ecuaciones cuya incógnita se encuentre en el exponente. Porque, a fin de cuentas el logaritmo no es otra cosa que un exponente. ¿Cuánto vale x en las siguientes ecuaciones?:

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas (más…)

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